Trước ngày thi vào lớp 10 Chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32

Câu hỏi số 401157:

Vận dụng cao

Trước ngày thi vào lớp 10 Chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận được số lượng bút có tổng cộng là 25.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401157

Phương pháp giải

Áp dụng các bất đẳng thức đã học.

Giải chi tiết

Gọi \({a_i}\) là số bút mà học sinh thứ \(i\) (trong 32 học sinh) nhận được \(\left( {i = 1,\,\,2,\,\,3,...,32} \right)\).\(\left( {{a_i} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Và \({a_1} + {a_2} + {a_3} + .... + {a_{32}} \le 49\). Ta kí hiệu:

\(\begin{array}{l}{S_1} = {a_1}\\{S_2} = {a_1} + {a_2}\\...\\{S_{32}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + .... + {a_{32}}\end{array}\)

Với mỗi \(i \in \left\{ {1;2;3;...;32} \right\}\) ta có: \(1 \le {S_i} \le 49.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,{S_i} + 25 \le 74\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S_i} + 50 \le 99\\{S_i} + 75 \le 124\end{array} \right.\end{array}\)

Xét 128 số gồm:

32 số nhóm (1) là \({S_1},{S_2},{S_3},...{S_{32}}\)

32 số nhóm (2) là \({S_1} + 25,{S_2} + 25,{S_3} + 25,...{S_{32}} + 25\)

32 số nhóm (3) là \({S_1} + 50,{S_2} + 50,{S_3} + 50,...{S_{32}} + 50\)

32 số nhóm (4) là \({S_1} + 75,{S_2} + 75,{S_3} + 75,...{S_{32}} + 75\)

Thấy 128 số này lấy giá trị nguyên dương trong phạm vi từ 1 đến 124, theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số nào đó trong chúng bằng nhau. Vì \({S_1} < {S_2} < {S_3} < ... < {S_{32}}\) nên dãy 32 giá trị trong mỗi nhóm ở trên tăng dần kể từ trái qua phải. Suy ra tồn tại \(j > i \ge 1\) mà \({S_i} + {k_1}.25 = {S_j} + {k_2}.25\) với \({k_1},{k_2} \in \left\{ {0,1,2,3} \right\}\) và \({k_1} \ne {k_2}\) (do 2 số bằng nhau thì không cùng nhóm).

Vì \({S_j} > {S_i}\) nên \(0 < {S_j} - {S_i} = 25\left( {{k_1} - {k_2}} \right)\) suy ra \({k_1} - {k_2} \in \left\{ {1,2,3} \right\}\)

Lại có \({S_j} - {S_i} < {S_j} \le 49\) nên \(25\left( {{k_1} - {k_2}} \right) < 49.\)

\( \Rightarrow {k_1} - {k_2} = 1\) \( \Rightarrow {S_j} - {S_i} = 25\,\,\,hay\,\,\,{a_{i + 1}} + {a_{i + 2}} + ... + {a_j} = 25.\)

Nghĩa là nhóm gồm các học sinh từ thứ \(i + 1\) đến học sinh thứ \(j\) nhận được tổng cộng 25 cây bút.

\( \Rightarrow \) Điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link