Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Biết \(SA = 2a\), \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Câu 402006: Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Biết \(SA = 2a\), \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. \(R = a\sqrt 2 \)

B. \(R = 2a\sqrt 2 \)

C. \(R = 2a\)

D. \(R = a\)

Câu hỏi : 402006

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.

- Xác định điểm cách đều cả 4 đỉnh của chóp.

- Sử dụng định lí Pytago để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(SC\). Khi đó \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) nên \(OI\parallel SA\). Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right)\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), mà \(OI \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(OI\) chính là trục của \(\left( {ABC} \right)\), suy ra \(IA = IB = IC\,\,\,\left( 1 \right)\).

Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot AC\), do đó tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) nên \(I\) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAC\), suy ra \(IS = IA = IC\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta có \(IA = IB = IC = IS\), hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\), và bán kính mặt cầu là \(R = IS = \dfrac{1}{2}SC\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAC\) ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a\sqrt 2 \).

Vậy \(R = \dfrac{1}{2}SC = a\sqrt 2 \).

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.