Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(AC\) và

Câu hỏi số 402015:

Vận dụng cao

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(AC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), cắt đường thẳng \(SD\) tại \(E\). Gọi \(V\) và \({V_1}\) lần lượt là thể tích khối chóp \(S.ABCD\) và \(D.ACE\), biết \(V = 5{V_1}\). Tính côsin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

D. \(\sqrt {\dfrac{2}{3}} \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402015

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\), vì chóp \(S.ABCD\) đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right)\).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot SM\\OK \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right)\).

Mà \(O \in \left( P \right) \Rightarrow OK \subset \left( P \right) \Rightarrow K \in \left( P \right)\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(E = CK \cap SD \Rightarrow E = \left( P \right) \cap SD\). Khi đó \(\left( P \right) \equiv \left( {ACE} \right)\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(EH\parallel SO\,\,\left( {H \in BD} \right)\), suy ra \(EH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{{V_{D.ACE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}EH.{S_{ACD}}}}{{\dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{EH}}{{SO}}.\dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{5} = \dfrac{{EH}}{{SO}}.\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{EH}}{{SO}} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{{DE}}{{DS}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SMD\) có:

\(\dfrac{{KS}}{{KM}}.\dfrac{{CM}}{{CD}}.\dfrac{{ED}}{{ES}} = 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{KS}}{{KM}}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{KS}}{{KM}} = 3\)\( \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{MS}} = \dfrac{1}{4}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\), đường cao \(OK\) ta có:

\(O{M^2} = MK.MS \Rightarrow \dfrac{{O{M^2}}}{{M{S^2}}} = \dfrac{{MK}}{{MS}} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{MS}} = \dfrac{1}{2} = \cos \angle SMO\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.