Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(A = xy\left(

Câu hỏi số 402058:

Vận dụng cao

Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(A = xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right).\)

A. \(2\)

B. \(\frac{8}{3}\)

C. \(3\)

D. \(\frac{7}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:402058

Phương pháp giải

Sử dụng giả thiết \(x + y = 2\) để biến đổi biểu thức \(A\) để từ đó đánh giá và tìm GTLN của \(A.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(A = xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = xy\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\) \( = xy\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right]\)

Mà \(x + y = 2\,\, \Rightarrow A = xy.2.\left( {{2^2} - 3xy} \right)\) \( = 2xy\left( {4 - 3xy} \right) = 8xy - 6{\left( {xy} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = - 6\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} - \frac{4}{3}xy} \right] = - 6\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} - 2.\frac{2}{3}xy + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 6\left[ {{{\left( {xy - \frac{2}{3}} \right)}^2} - \frac{4}{9}} \right] = \frac{8}{3} - 6{\left( {xy - \frac{2}{3}} \right)^2} \le \frac{8}{3}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {xy - \frac{2}{3}} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = \frac{2}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\y = 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\y = 1 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{8}{3}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.