Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} +

Câu hỏi số 402377:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Xét điểm \(M\)chuyển động trên trục \(Ox\) và điểm \(N\) chuyển động trên trục \(Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) luôn tiếp xúc với \(\left( E \right)\). Để đoạn \(MN\) có độ dài nhỏ nhất thì tọa độ điểm \(M\) và \(N\) là:

A. \(M\left( { - 2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)\)

B. \(M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)\)

C. \(M\left( { - 2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\, - \sqrt {21} } \right)\)

D. \(M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\, - \sqrt {21} } \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402377

Phương pháp giải

Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và đường thẳng \(d:Ax + By + C = 0\).

Điều kiện để đường thẳng \(d\) tiếp xúc với \(\left( E \right)\) là \({A^2}{a^2} + {B^2}{b^2} = {C^2}.\)

Giải chi tiết

Điểm \(M\) chuyển động trên trục \(Ox\) và điểm \(N\) chuyển động trên trục \(Oy\).

\( \Rightarrow M\left( {m;\,\,0} \right),\,N\left( {0;\,\,n} \right)\) với \(m > 0,\,\,n > 0\).

Phương trình đường thẳng \(MN\): \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\)

Để đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) thì: \({\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} \cdot 16 + {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} \cdot 9 = 1\)

Ta có: \(M\left( {m;\,\,0} \right),\,\,N\left( {0;\,\,n} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - m;\,\,n} \right)\)\( \Rightarrow MN = \sqrt {{m^2} + {n^2}} \)

\( \Rightarrow M{N^2} = {m^2} + {n^2} = \left( {{m^2} + {n^2}} \right).1\)\( = \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \cdot \left( {\frac{{16}}{{{m^2}}} + \frac{9}{{{n^2}}}} \right)\)\( = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(M{N^2} = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \ge 25 + 2\sqrt {16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} \cdot 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}} = 49\)

\( \Rightarrow M{N^2} \ge 49\)

\( \Rightarrow MN \ge 7\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16{n^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{9{m^2}}}{{{n^2}}}\\{m^2} + {n^2} = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\sqrt 7 \\n = \sqrt {21} \end{array} \right.\) (thõa mãn điều kiện)

Vậy \(M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)\) thì \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(7.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.