Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{9} +

Câu hỏi số 402376:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) và điểm \(A\left( {3;\,\,0} \right)\). Tìm trên \(\left( E \right)\) các điểm \(B,\,\,C\) sao cho \(B,\,\,C\) đối xứng qua trục \(Ox\) và \(\Delta ABC\) là tam giác đều.

A. \(B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)\)

B. \(B\left( {1;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {1;\,\, - \sqrt 3 } \right)\)

C. \(B\left( {\sqrt 3 ;\,\,0} \right),\,\,C\left( { - \sqrt 3 ;\,\,0} \right)\)

D. \(B\left( {0;\,\,3} \right),\,\,C\left( {0;\,\, - 3} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402376

Phương pháp giải

+) Gọi \(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)\) với \(\,{y_0} > 0\).

+) Vì \(A\) là một điểm nằm trên trục \(Ox\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

+) Xác định khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\).

+) Để \(\Delta ABC\) đều thì \(\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}\).

Giải chi tiết

Giả sử \(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)\) với \(\,{y_0} > 0\).

Vì \(B,\,\,C\) nằm trên elip \(\left( E \right)\) nên ta có: \(\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{3} = 1 \Leftrightarrow x_0^2 + 3y_0^2 = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {{x_0} - {x_0};\, - {y_0} - {y_0}} \right) = \left( {0;\,\, - 2{y_0}} \right)\)

Ta có: \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,B\left( {{x_0};{y_0}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \left( {2{y_0};\,\,0} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) + 0.\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x - {x_0} = 0\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(x - {x_0} = 0\)

Vì \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) nên \(A \in Ox\), \(B\) và \(C\) đối xứng qua \(Ox\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).

Để \(\Delta ABC\) là tam giác đều thì \(\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}\)

\( \Rightarrow \tan {60^0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\frac{{2{y_0}}}{2}}} \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{{y_0}}} \Leftrightarrow \left| {3 - {x_0}} \right| = {y_0}\sqrt 3 \Leftrightarrow {y_0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(x_0^2 + 3.{\left( {\frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow x_0^2 + {\left( {3 - {x_0}} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow x_0^2 + 9 - 6{x_0} + x_0^2 = 9\)\( \Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 3\end{array} \right.\)

+) Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = \sqrt 3 \Rightarrow B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)\)

+) Với \({x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \)Loại

Vậy \(B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.