Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\). Giá trị

Câu hỏi số 402717:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất \(\left| z \right|\) là:

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402717

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\).

- Thay vào giả thiết, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\) là 1 đường thẳng \(d\).

- Khi đó \(\left| z \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \left| z \right| = d\left( {O;d} \right)\).

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1 = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x + y + 1 = 0\).

Khi đó \(\left| z \right| = OM\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow OM = d\left( {O;d} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.