Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD.\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Gọi
Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD.\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,AB,\,\,AC,\,\,AH.\) Chứng minh rằng 5 điểm \(D,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) cùng nằm trên một đường tròn.
Quảng cáo
- Sử dụng tính chất đường trung bình và các quan hệ từ vuông đến song song chứng minh \(\angle IPM = \angle INM = {90^0}\).
- Sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông chứng minh 5 điểm \(D,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) cùng cách đều 1 điểm nào đó.
Gọi \(O\) là trung điểm của \(IM.\)
Do tam giác \(IDM\) vuông tại \(D\) nên \(OI = OM = OD\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Ta có \(IP\) là đường trung bình của tam giác \(AHC\)
\( \Rightarrow IP\parallel HC \Rightarrow \angle API = \angle ACH\) (hai góc dồng vị).
Ta có: \(HC \bot AB\), mà \(AB\parallel PM\) (do \(PM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow HC \bot PM\\ \Rightarrow {90^0} = \angle MPC + \angle PCH = \angle MPC + \angle API\\ \Rightarrow \angle IPM = {180^0} - \left( {\angle MPC + \angle API} \right) = {90^0}.\end{array}\)
\( \Rightarrow OP = \dfrac{{OM}}{2} = OI\,\,\left( 2 \right)\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Chứng minh tương tự ta được \(ON = OI\,\,\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow OM = OI = OP = ON = OD.\)
Vậy 5 điểm \(D,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) cùng nằm trên đường tròn \(\left( {O;\dfrac{{IM}}{2}} \right)\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
