Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD.\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Gọi

Câu hỏi số 403268:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD.\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,AB,\,\,AC,\,\,AH.\) Chứng minh rằng 5 điểm \(D,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) cùng nằm trên một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi:403268

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất đường trung bình và các quan hệ từ vuông đến song song chứng minh \(\angle IPM = \angle INM = {90^0}\).

- Sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông chứng minh 5 điểm \(D,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) cùng cách đều 1 điểm nào đó.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là trung điểm của \(IM.\)

Do tam giác \(IDM\) vuông tại \(D\) nên \(OI = OM = OD\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có \(IP\) là đường trung bình của tam giác \(AHC\)

\( \Rightarrow IP\parallel HC \Rightarrow \angle API = \angle ACH\) (hai góc dồng vị).

Ta có: \(HC \bot AB\), mà \(AB\parallel PM\) (do \(PM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HC \bot PM\\ \Rightarrow {90^0} = \angle MPC + \angle PCH = \angle MPC + \angle API\\ \Rightarrow \angle IPM = {180^0} - \left( {\angle MPC + \angle API} \right) = {90^0}.\end{array}\)

\( \Rightarrow OP = \dfrac{{OM}}{2} = OI\,\,\left( 2 \right)\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Chứng minh tương tự ta được \(ON = OI\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow OM = OI = OP = ON = OD.\)

Vậy 5 điểm \(D,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) cùng nằm trên đường tròn \(\left( {O;\dfrac{{IM}}{2}} \right)\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.