Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right),\,\,DC\) là một dây cố định không đi qua \(O.\) Gọi \(S\) là

Câu hỏi số 403831:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right),\,\,DC\) là một dây cố định không đi qua \(O.\) Gọi \(S\) là điểm di động trên tia đối của \(DC\)\(\left( {S \ne D} \right).\) Qua \(S\) kẻ hai tiếp tuyến \(SA,SB\) với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)(\(A,B\) là hai tiếp điểm). Gọi \(I\) là trung điểm của \(DC.\)

a) Chứng minh 5 điểm \(S,A,B,I,O\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(SO\) và \(AB.\) Chứng minh \(\angle DHC = \angle DOC.\)

c) Chứng minh đường thẳng \(AB\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(S\) di động.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403831

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\angle SAO = \angle SBO = \angle SIO = {90^0}\) cùng nhìn đoạn \(SO\)

\( \Rightarrow S,\,\,B,\,\,I,\,\,O,\,\,A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO.\)

b) Chứng minh \(\Delta SDH \sim \Delta SOC\,\,\left( {g - g} \right)\) sau đó suy ra tứ giác \(DHOC\) nội tiếp được.

c) Chứng minh \(AB\) cắt \(OI\) tại một điểm cố định.

Giải chi tiết

a) Chứng minh 5 điểm \(S,A,B,I,O\) cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: \(SA,\,\,SB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle SAO = \angle SBO = {90^0}\)

\(I\) là trung điểm của \(CD\) \( \Rightarrow OI \bot CD\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \angle SIO = {90^0}\)

Ta có: \(\angle SAO = \angle SBO = \angle SIO = {90^0}\) cùng nhìn đoạn \(SO\)

\( \Rightarrow S,\,\,B,\,\,I,\,\,O,\,\,A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO.\)

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(SO\) và \(AB.\) Chứng minh \(\angle DHC = \angle DOC.\)

Xét hai \(\Delta SDB\) và \(\Delta SBC\)có:

\(\angle S\,\,\,chung\)

\(\angle SBD = \angle SCD\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta SDB \sim \Delta SBC\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SD}}{{SB}} = \frac{{SB}}{{SC}} \Rightarrow S{B^2} = SD.SC.\end{array}\)

Ta có: \(OA = OB \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(AB.\)

\(SA = SB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow S\) thuộc đường trung trực của \(AB.\)

\( \Rightarrow SO\) là đường trung trực của \(AB \Rightarrow SO \bot AB = \left\{ H \right\}.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SBO\) vuông tại \(B,\) có đường cao \(BH\) ta có: \(S{B^2} = SH.SO\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SH.SO = SD.SC\,\,\,\left( { = S{B^2}} \right).\\ \Rightarrow \frac{{SC}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SD}}.\end{array}\)

Xét hai \(\Delta SDH\) và \(\Delta SOC\)có:

\(\begin{array}{l}\angle S\,\,\,chung\\\frac{{SC}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SD}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SDH \sim \Delta SOC\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle SDH = \angle SOC\) (hai góc tương ứng)

Xét tứ giác \(DHOC\) có:

\(\angle HOC + \angle HDC = \angle SOC + \angle HDC\) \( = \angle SDH + \angle HDC = {180^0}\)

\( \Rightarrow DHOC\) là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \(\angle DHC = \angle DOC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DC\)).

c) Chứng minh đường thẳng \(AB\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(S\) di động.

Gọi \(J\) là giao điểm của \(AB\) và \(OI.\)

Xét hai \(\Delta OIS\) và \(\Delta OHJ\) có:

\(\begin{array}{l}\angle OIS = \angle OHJ = {90^0}\\\angle O\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta OIS \sim \Delta OHJ\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OS}}{{OJ}}\\ \Rightarrow OI.OJ = OH.OS\end{array}\)

Mặt khác \(OH.OS = O{B^2} = {R^2}\) (hệ thức lượn trong tam giác vuông \(SBO\))

Từ đó \(OI.OJ = OH.OS = {R^2} \Leftrightarrow OJ = \frac{{{R^2}}}{{OI}}\)

Mà \(CD\) cố định \( \Rightarrow OI\) cố định \( \Rightarrow OJ\) cố định \( \Rightarrow J\) cố định.

Hay đường thẳng \(AB\) luôn đi qua một điểm cố định \(J\) khi \(S\) di động.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link