Biết rằng \(\lim \left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5

Câu hỏi số 404044:

Vận dụng cao

Biết rằng \(\lim \left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}} + \dfrac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{b} + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

A. \(S = 26\).

B. \(S = 30\).

C. \(S = 21\).

D. \(S = 31\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404044

Phương pháp giải

- Tách ra thành hai giới hạn.

- Giới hạn thứ nhất chia cả tử và mẫu cho \({\left( {\sqrt 5 } \right)^n}\), giới hạn thứ hai chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính \(S\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\lim \left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}} + \dfrac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}} \right)\\ = \lim \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}} + \lim \dfrac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}\\ = \lim \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n}.2 + {{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n}}}{{5.{{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n} + \sqrt 5 - {{\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n}}} + \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{{{n^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}\\ = \dfrac{{1 - 2.0 + 0}}{{5.0 + \sqrt 5 - 0}} + \dfrac{2}{1} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5} + 2\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 5,\,\,c = 2\).

Vậy \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {1^2} + {5^2} + {2^2} = 30.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.