Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, dãy số nào bị chặn ?

Câu hỏi số 404141:

Vận dụng

A. \({u_n} = n + 2019\sin n\).

B. \({u_n} = {\left( {\dfrac{{2019}}{{2018}}} \right)^n}\).

C. \({u_n} = 2{n^2} + 2019\).

D. \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404141

Phương pháp giải

- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\) hoặc thương \(T = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) để xem dãy số tăng hay giảm.

- Chứng minh \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), khi đó dãy số bị chặn trên bởi M và bị chặn dưới bởi m.

Giải chi tiết

Xét đáp án D ta có: \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 2}}{{n + 2020}}\).

Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\) ta có:

\(\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{n + 2}}{{n + 2020}} - \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 2019} \right) - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2020} \right)}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{n^2} + 2021n + 4038 - {n^2} - 2021n - 2020}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2018}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Do đó dãy số \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số tăng.

Ta có: \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}} = 1 - \dfrac{{2018}}{{n + 2019}} < 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), do đó dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1.

Lại có:

\(\begin{array}{l}n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2019 \ge 2020\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2018}}{{n + 2019}} \le \dfrac{{2018}}{{2020}} = \dfrac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow - \dfrac{{2018}}{{n + 2019}} \ge - \dfrac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow {u_n} = 1 - \dfrac{{2018}}{{n + 2019}} \ge \dfrac{1}{{1010}}\end{array}\)

Do đó dãy số bị chặn dưới bởi \(\dfrac{1}{{1010}}\).

Vậy dãy số \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.