Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có đường cao \(AH.\) Trên tia \(AH\)

Câu hỏi số 404266:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có đường cao \(AH.\) Trên tia \(AH\) lấy điểm \(E\) sao cho \(H\) nằm giữa \(A\) và \(E.\) Qua \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt tia \(AB\) kéo dài tại \(F.\)

a) Chứng minh: \(\Delta {\rm{BHA}}\) đồng dạng \(\Delta {\rm{BAC}}\) và \(A{B^2} = BH.BC.\)

b) Cho \(AB = 15\,\,cm,\,\,\,BC = 25\,\,cm,\,\,\,BF = 5\,cm.\) Tính độ dài \(BH,\,\,\,EF.\)

c) Từ \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(EB\) cắt đoạn \(AC\) tại \(K\) (\(K\) nằm giữa \(A\) và \(C\)). Chứng minh \(AF.BE = BK.EF\) (không sử dụng giả thiết câu b).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404266

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta {\rm{BHA}} \sim \Delta {\rm{BAC}}\) theo trường hợp đồng dạng góc – góc \( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}} \Rightarrow B{A^2} = BC.BH\)

b) Tính \(BH\) dựa vào kết quả \(B{A^2} = BC.BH\).

Chứng minh \(\Delta BHA \sim \Delta FEA\) \( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{FE}}{{FA}}\)\( \Rightarrow BA.FE = BH.FA \Rightarrow FE\)

c) Chứng minh \(\Delta FEB \sim \Delta AEK\) \( \Rightarrow \frac{{FE}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{EK}}\)

Từ đó chứng minh \(\Delta AEF \sim \Delta KEB\,\,\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow AF.EB = BK.EF\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh: \(\Delta {\rm{BHA}}\) đồng dạng \(\Delta {\rm{BAC}}\) và \(A{B^2} = BH.BC.\)

Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AHB = \angle CAB\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle B\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta BHA \sim \Delta BAC\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}} \Rightarrow B{A^2} = BC.BH\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) Cho \(AB = 15\,\,cm,\,\,\,BC = 25\,\,cm,\,\,\,BF = 5\,cm.\) Tính độ dài \(BH,\,\,\,EF.\)

Theo chứng minh a) ta có:

\(B{A^2} = BC.BH \Leftrightarrow {15^2} = 25.BH \Rightarrow BH = 9\,\,cm.\)

Lại có: \(AF = AB + BF = 15 + 5 = 20cm\)

Do \(BH \bot AH;\,BH//{\rm{EF}} \Rightarrow AH \bot EF\,\,\,\)(từ song song đến vuông góc).

\( \Rightarrow \angle AEF = {90^0}.\)

Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta FEA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AHB = \angle AEF\,\,\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle BAH\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta BHA \sim \Delta FEA\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{FE}}{{FA}} \Rightarrow BA.FE = BH.FA\\ \Leftrightarrow 15.FE = 9.20 \Rightarrow FE = 12\,\,cm.\end{array}\)

c) Từ \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(EB\) cắt đoạn \(AC\) tại \(K\) (\(K\) nằm giữa \(A\) và \(C\)). Chứng minh \(AF.BE = BK.EF\) (không sử dụng giả thiết câu b).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\angle FEB + \angle BEA = {90^0}\\\angle AEK + \angle BEA = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle FEB = \angle AEK\)(cùng phụ với \(\angle BEA\))

Xét \(\Delta FEB\) và \(\Delta AEK\) có:

\(\angle FEB = \angle AEK\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\angle BFE = \angle KAE\) (cùng phụ \(\angle FAE\))

\( \Rightarrow \) \(\Delta FEB \sim \Delta AEK\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{FE}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{EK}}\)(các cặp cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta KEB\)có:

\(\frac{{FE}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{EK}}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\angle AEF = \angle KEB\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta AEF \sim \Delta KEB\,\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{KB}} = \frac{{EF}}{{EB}} \Rightarrow AF.EB = BK.EF\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link