Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;1} \right),\) \(B\left( {0;2;0} \right),\) \(C\left( {3;0;0}

Câu hỏi số 404303:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;1} \right),\) \(B\left( {0;2;0} \right),\) \(C\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(k = x + 2y + z.\)

A. \(k = \dfrac{{66}}{{49}}\)

B. \(k = \dfrac{{36}}{{29}}\)

C. \(k = \dfrac{{74}}{{49}}\)

D. \(k = \dfrac{{12}}{7}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404303

Phương pháp giải

- Áp dụng tính chất của trực tâm: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\).

- Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\), giải hệ phương trình tìm \(H\).

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 6 = 0\).

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\).

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {x;y;z - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BH} = \left( {x;y - 2;z} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 2;0} \right);\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 0\\3x - z = 0\\2x + 3y + 6z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{12}}{{49}}\\y = \dfrac{{18}}{{49}}\\z = \dfrac{{36}}{{49}}\end{array} \right.\).

Vậy \(k = x + 2y + z = \dfrac{{12}}{7}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.