Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ đường thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC lần lượt là E và F.Từ
Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ đường thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC lần lượt là E và F.Từ E, F lần lượt kẻ các đường thẳng song song BD và CA chúng cắt nhau tại I, qua I vẽ đường thẳng m vuông góc với EF. Chứng minh (m) luôn đi qua điểm cố định khi (d) quay quanh O.
Quảng cáo
- Chứng minh I thuộc AB.
- Chứng minh \(\angle BHA = {90^0}\), sử dụng tứ giác nội tiếp và định lí: Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Chứng minh H thuộc đường tròn đường kính AB.
- Gọi K là giao điểm của IH và đường tròn đường kính AB, chứng minh số đo cung AK không đổi, từ đó chứng minh K là điểm cố định.
Gọi I và I’ lần lượt là đường thẳng qua F song song với AC và đường thẳng qua E song song với BD giao với đường thẳng AB.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{BI}}{{BA}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\), \(\dfrac{{BI'}}{{BA}} = \dfrac{{DE}}{{DA}}\).
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta OBF = \Delta ODE\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow BF = DE\).
Lại có \(BC = DA\) (do ABCD là hình vuông) \( \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{BA}} = \dfrac{{BI'}}{{BA}} \Rightarrow BI = BI'\), do đó I trùng với I’ hay \(I \in AB\).
Ta có \(\angle IHE + \angle IAE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên tứ giác IHEA là tứ gíc nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
Ta có: \(\dfrac{{AI}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AD}}\) (định lí Ta-lét), mà AB = AD nên suy ra AI = AE.
\( \Rightarrow \Delta AIE\) vuông cân tại A \( \Rightarrow \angle AEI = \angle AIE = {45^0}\) \( \Rightarrow \angle IHA = \angle AEI = {45^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI).
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(\angle BHI = \angle BFI = {45^0}\).
Vẽ đường tròn đường kính AB ta có: \(\angle BHA = \angle IHA + \angle BHI = {45^0} + {45^0} = {90^0}\) nên H thuộc đường tròn đường kính AB.
Giả sử HI cắt đường tròn đường kính AB tại K. Ta có: Số đo cung KA = \(2\angle KHA = {2.45^0} = {90^0}\).
Do K thuộc đường tròn đường kinh AB, sđ cung KH = 90 nên K cố định hay HI đi qua K cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
