Cho \(\angle xOy = {90^0}\). Trên Ox lấy điểm A cố định , trên Oy lấy điểm B di động. Đường
Cho \(\angle xOy = {90^0}\). Trên Ox lấy điểm A cố định , trên Oy lấy điểm B di động. Đường tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB lần lượt tại M và N. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Quảng cáo
- Chứng minh \(\angle ONM = \angle AIO\), sử dụng định lí góc ngoài của tam giác và tổng 3 góc trong một tam giác.
- Chứng minh \(\Delta AIO \sim \Delta FNO\,\,\left( {g.g} \right)\), từ đó suy ra \(\dfrac{{OF}}{{OA}} = \dfrac{{ON}}{{OI}}\).
- Tính tỉ số \(\dfrac{{ON}}{{OI}}\) nhờ sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, từ đó chứng minh OF không đổi và suy ra điểm F cố định.
Gọi tâm đường tròn nội tiếp AOB là I.
Giả sử tia phân giác Om của \(\angle xOy\) cắt MN tại F .
Ta có BM = BN (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \Delta BMN\) cân tại B, do đó:
\(\begin{array}{l}\angle ONM = {180^0} - \angle BNM\\\angle ONM = {90^0} + {90^0} - \angle BNM\\\angle ONM = {90^0} + \dfrac{{\angle B}}{2}\end{array}\)
Xét tam giác OAI ta có:
\(\begin{array}{l}\angle AIO = {180^0} - \angle IOA - \angle OAI\\\angle AIO = {180^0} - \dfrac{{\angle O}}{2} - \dfrac{{\angle A}}{2}\\\angle AIO = {180^0} - \dfrac{{\angle O + \angle A}}{2}\\\angle AIO = {180^0} - \dfrac{{{{180}^0} - \angle B}}{2}\\\angle AIO = {90^0} + \dfrac{{\angle B}}{2}\end{array}\)
Do đó \(\angle ONM = \angle AIO\).
Xét tam giác AIO và tam giác FNO có:
\(\begin{array}{l}\angle AIO = \angle ONM = \angle ONF\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle IOA = \angle NOF\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AIO \sim \Delta FNO\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{OA}} = \dfrac{{ON}}{{OI}}\end{array}\)
Vì OB tiếp xúc với (I) tại N trên \(IN \bot OB\), do đó tam giác OIN vuông tại N.
\( \Rightarrow \cos \angle ION = \dfrac{{ON}}{{OI}} = \cos {45^0} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{OA}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow OF = \dfrac{{OA}}{{\sqrt 2 }} = \) hằng số.
Mà O cố định. Vậy F cố định hay MN đi qua F cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
