Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm giữa A và C. Đường tròn (O) thay đổi luôn
Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm giữa A và C. Đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A và B , gọi PQ là đường kính của đường tròn (O). PQ vuông góc với AB, P thuộc cung lớn AB, Gọi CP cắt (O) tại điểm thứ 2 là I chứng minh QI luôn đi qua điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Quảng cáo
- Gọi IQ cắt AB tại K và PQ cắt AB tại D.
- Chứng minh \(\Delta CIK \sim \Delta CDP\), \(\Delta CIB \sim \Delta CAP\).
- Chứng minh \(CA.CB = CK.CD\), từ đó chứng minh CK không đổi và suy ra K cố định.
Gọi IQ cắt AB tại K và PQ cắt AB tại D.
Ta có: \(\angle PIQ = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle KIP = {90^0}\).
Xét tứ giác PDKI có: \(\angle KIP + \angle KDP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\), suy ra tứ giác PDKI là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) \( \Rightarrow \angle CKI = \angle CPD\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Xét tam giác CIK và tam giác CDP có:
\(\begin{array}{l}\angle CKI = \angle CPD\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle C\,\,chung\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta CIK \sim \Delta CDP\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{CI}}{{CD}} = \dfrac{{CK}}{{CP}} \Rightarrow CI.CP = CK.CD\,\,\,\left( 1 \right)\).
Xét tam giác CIB và tam giác CAP có:
\(\angle C\,\,chung\)
\(\angle CBI = \angle CPA\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp ABIP).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta CIB \sim \Delta CAP\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{CI}}{{CB}} = \dfrac{{CA}}{{CP}} \Rightarrow CI.CP = CA.CB\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CA.CB = CK.CD \Rightarrow CK = \dfrac{{CA.CB}}{{CD}}\).
Vì A, B cố định nên D cố định (\(PQ \bot AB\) tại D nên D là trung điểm của AB), C cố định \( \Rightarrow CA,\,\,CB,\,\,CD\) không đổi \( \Rightarrow CK\) không đổi \( \Rightarrow K\) cố định.
Vậy IQ luôn đi qua điểm K cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
