Tìm các số nguyên tố \(p,q\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: \(i)\)\({p^2}q + p\) chia hết

Câu hỏi số 404494:

Vận dụng cao

Tìm các số nguyên tố \(p,q\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

\(i)\)\({p^2}q + p\) chia hết cho \({p^2} + q\)

\(ii)\)\(p{q^2} + q\) chia hết cho \({q^2} - p\)

A. \(p = 2,\,\,q = 3\)

B. \(p = 3,\,q = 2\)

C. \(p = 2,\,q = 5\)

D. \(p = 3,\,q = 5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404494

Phương pháp giải

\(a\, \vdots b\) và \(b \vdots a\) khi và chỉ khi \(a = \pm b.\)

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}{p^2}q + p\,\, \vdots \,\,\left( {{p^2} + q} \right)\\ \Rightarrow q\left( {{p^2} + q} \right) - \left( {{p^2}q + q} \right) = {q^2} - p\,\, \vdots \,\,\left( {{p^2} + q} \right)\\p{q^2} + q\,\, \vdots \,\,\left( {{q^2} - p} \right)\\ \Rightarrow \left( {p{q^2} + q} \right) - p\left( {{q^2} - p} \right) = {p^2} + q\,\, \vdots \,\,{q^2} - p\end{array}\)

Từ đây suy ra \({q^2} - p = \pm \left( {{p^2} + q} \right).\)

\(TH1:\,\,\,{q^2} - p = - \left( {{p^2} + q} \right)\)\( \Leftrightarrow {q^2} + q + {p^2} - p = 0\) \( \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm vì \({q^2} + q + {p^2} - p > 0.\)

\(TH2:\,\,{q^2} - p = {p^2} + q \Leftrightarrow \left( {q + p} \right)\left( {q - p - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow q - p - 1 = 0 \Leftrightarrow q = p + 1\)

Mà \(p,q\) là hai số nguyên tố nên \(p = 2,\,\,\,q = 3\)(thỏa mãn bài toán).

Vậy \(p = 2,\,\,q = 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link