Viết lên bảng 2019 số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};....;\frac{1}{{2018}};\frac{1}{{2019}}.\) Từ các số đã

Câu hỏi số 404495:

Vận dụng cao

Viết lên bảng 2019 số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};....;\frac{1}{{2018}};\frac{1}{{2019}}.\) Từ các số đã viết, xóa đi 2 số bất kỳ \(x,y\) rồi viết lên bảng số \(\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\) (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu ?

A. \(\frac{1}{{2020! + 1}}.\)

B. \(\frac{1}{{2020!}}.\)

C. \(\frac{1}{{2019!}}.\)

D. \(\frac{1}{{2020! - 1}}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404495

Phương pháp giải

Áp dụng đẳng thức: \(\frac{{x + y + 1}}{{xy}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}}.\)

Giải chi tiết

Đặt \(z = \frac{{xy}}{{x + y + 1}} \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \Rightarrow \frac{1}{z} + 1 = \left( {\frac{1}{x} + 1} \right)\left( {\frac{1}{y} + 1} \right)(1)\)

Với mỗi tập các số dương \(\left\{ {{x_1};{x_2};......;{x_n}} \right\}\) tùy ý, xét biểu thức :

\(P\left( {{x_1};{x_2};....;{x_n}} \right) = \left( {\frac{1}{{{x_1}}} + 1} \right)\left( {\frac{1}{{{x_2}}} + 1} \right).......\left( {\frac{1}{{{x_n}}} + 1} \right).\)

Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kỳ \(x,y\) rồi viết lên bảng số \(\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\) các số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị của biểu thức \(P\) của các số trên bảng không đổi.

Gọi số cuối cùng là \(a\)\( \Rightarrow P\left( a \right) = P\left( {\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};......;\frac{1}{{2018}};\frac{1}{{2019}}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{1}{a} + 1 = \left( {\frac{1}{1} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{2}}} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{3}}} + 1} \right).......\left( {\frac{1}{{\frac{1}{{2018}}}} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{{2019}}}} + 1} \right) = 2020!\)\( \Rightarrow a = \frac{1}{{2020! - 1}}\)

Vậy số cần tìm là: \(\frac{1}{{2020! - 1}}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link