Khi sản xuất cái phễu hình nón (không có nắp) bằng nhôm, các nhà thiết kế luôn đạt mục

Câu hỏi số 404553:

Vận dụng

Khi sản xuất cái phễu hình nón (không có nắp) bằng nhôm, các nhà thiết kế luôn đạt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm phểu ít nhất, tức là diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất. Hỏi nếu ta muốn sản xuất cái phễu có thể tích là \(2d{m^3}\) thì diện tích xung quanh của cái phễu sẽ có giá trị nhỏ nhất gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. \(6,85\,\,d{m^2}\)

B. \(6,75\,\,d{m^2}\)

C. \(6,65\,\,d{m^2}\)

D. \(6,25\,\,d{m^2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404553

Phương pháp giải

- Gọi R, h, l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và độ dài đường sinh của cái phễu. Tính h và l theo R.

- Tính diện tích xung quanh của cái phễu: \({S_{xq}} = \pi Rl\).

- Sử dụng BĐT Cô-si: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ge 0} \right)\) để tìm GTNN của diện tích xung quanh.

Giải chi tiết

Gọi R, h, l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và độ dài đường sinh của cái phễu.

Khi đó \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = 2 \Leftrightarrow h = \dfrac{6}{{\pi {R^2}}}\) và \(l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = \sqrt {\dfrac{{36}}{{{\pi ^2}{R^4}}} + {R^2}} \).

Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R.\sqrt {\dfrac{{36}}{{{\pi ^2}{R^4}}} + {R^2}} = \sqrt {\dfrac{{36}}{{{R^2}}} + {\pi ^2}{R^4}} \).

Ta có: \(\dfrac{{36}}{{{R^2}}} + {\pi ^2}{R^4} = \dfrac{{18}}{{{R^2}}} + \dfrac{{18}}{{{R^2}}} + {\pi ^2}{R^4} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{18}}{{{R^2}}}.\dfrac{{18}}{{{R^2}}}.{\pi ^2}{R^4}}} = 3\sqrt[3]{{{{\left( {18\pi } \right)}^2}}}\) (BĐT Cô-si).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{18}}{{{R^2}}} = {\pi ^2}{R^4} \Leftrightarrow R = \sqrt[6]{{\dfrac{{18}}{{{\pi ^2}}}}}\).

Vậy \(\min {S_{xq}} = \sqrt {3{{\sqrt[3]{{\left( {18\pi } \right)}}}^2}} \approx 6,65\,\,\left( {d{m^2}} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.