Chứng minh rằng với mọi số thực \(a,b\) luôn có : \({a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {a + b}

Câu hỏi số 404762:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng với mọi số thực \(a,b\) luôn có : \({a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\) và \(ab \le \frac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404762

Phương pháp giải

Chứng minh các bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Giải chi tiết

Ta có: \({a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} \ge {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\), luôn đúng với mọi \(a,\,\,b.\)

Vậy \({a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

Ta có: \(ab \le \frac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4ab \le {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\) luôn đúng với mọi \(a,\,\,b.\)

Vậy \(ab \le \frac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^2}.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link