Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) không cùng bán kính, cắt nhau tại hai
Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) không cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B.\) Các tiếp tuyến của tại \(A\) của \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt \(\left( {O'} \right)\) và \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(C\) và \(D.\) Trên đường thẳng \(AB\) lấy \(M\) sao cho \(B\) là trung điểm đoạn \(AM\).
a) Chứng minh hai tam giác \(ABD\) và \(CBA\) đồng dạng.
b) Chứng minh \(M{B^2} = BD.BC\).
c) Chứng minh \(ADMC\) là tứ giác nội tiếp.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.
b) Sử dụng các tỉ số giữa các cạnh của hai tam giác đồng dạng rồi suy ra đẳng thức.
c) Chứng minh \(\angle A + \angle M = {180^0}\).
a) Chứng minh hai tam giác \(ABD\) và \(CBA\) đồng dạng.
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:
\(\angle CAB\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AB\)
\(\angle ADB\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)
\( \Rightarrow \angle CAB = \angle ADB\) (tính chất).
Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) ta có:
\(\angle DAB\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AB\)
\(\angle ACB\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)
\( \Rightarrow \angle DAB = \angle ACB\) (tính chất).
Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta CBA\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle CAB = \angle ADB\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle DAB = \angle ACB\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta CBA\,\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
b) Chứng minh \(M{B^2} = BD.BC\).
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta CBA\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) \( \Leftrightarrow A{B^2} = BD.BC\)
Mà \(B\) là trung điểm của \(AM\) \( \Rightarrow M{B^2} = A{B^2} = BD.BC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
c) Chứng minh \(ADMC\) là tứ giác nội tiếp.
Ta có: \(\angle MBD = \angle BAD + \angle BDA\) (tính chất góc ngoài của \(\Delta ABD\))
\(\angle MBC = \angle BAC + \angle BCA\) (tính chất góc ngoài của \(\Delta ABC\))
Mà \(\angle BAD = \angle BCA\) và \(\angle BDA = \angle BAC\) (câu a)
\( \Rightarrow \angle MBD = \angle MBC.\)
Lại có: \(M{B^2} = BD.BC \Leftrightarrow \frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{BC}}{{MB}}\)
\( \Rightarrow \Delta BDM \sim \Delta BMC\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle BDM = \angle BMC\) (hai góc tương ứng).
Xét tứ giác \(ADMC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle A + \angle M = \angle BAD + \angle BAC + \angle M\\ \Leftrightarrow \angle A + \angle M = \angle BAD + \angle BDA + \angle M\\ \Leftrightarrow \angle A + \angle M = \angle DBM + \angle BMD + \angle BMC\\ \Leftrightarrow \angle A + \angle M = {180^0} - \angle BDM + \angle BMC\\ \Leftrightarrow \angle A + \angle M = {180^0}\end{array}\)
Vậy \(ADMC\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
