Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 10 = 0\) và mặt cầu \(\left( S

Câu hỏi số 404883:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 10 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Gọi \({V_1}\) là thể tích khối cầu \(\left( S \right)\), \({V_2}\) là thể tích khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh là giao điểm của mặt cầu \(\left( S \right)\) với đường thẳng đi qua tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), đáy là đường tròn \(\left( C \right)\). Biết độ dài đường cao khối nón \(\left( N \right)\) lớn hơn bán kính của khối cầu \(\left( S \right)\). Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng

A. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{375}}{{32}}\)

B. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{125}}{8}\)

C. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{125}}{{96}}\)

D. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{125}}{{32}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404883

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón và khối cầu.

Giải chi tiết

Ta có mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {2;1;3} \right);R = 5\)

\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{500\pi }}{3}\)

Mặt phẳng\(\left( P \right):2x + y - 2z + 10 = 0 \Rightarrow {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = 3\)

Khi đó bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(r = \sqrt {{R^2} - d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}^2} = 4\)

Đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) là điểm\(I\left( {2;1;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên vecto chỉ phương là \(\left( {2;1; - 2} \right)\)

Có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\)

Giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu là

\({\left( {2 + 2t - 2} \right)^2} + {\left( {1 + t - 1} \right)^2} + {\left( {3 - 2t - 3} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow t = \pm \dfrac{5}{3}\)

Nên giao điểm là \(A\left( {\dfrac{{16}}{3};\dfrac{8}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\) hoặc \(B\left( { - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

Khi đó \({d_{\left( {A;\left( P \right)} \right)}} = 8;{d_{\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{22}}{9}\)

Mà khối nón \(\left( N \right)\) có đường cao lớn hơn bán kính khối cầu nên \(h = {d_{\left( {A;\left( P \right)} \right)}} = 8\)

Khi đó thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là \({V_2} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.4^2}.8 = \dfrac{{128\pi }}{3}\)

Khi đó \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{125}}{{32}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.