Tìm giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} }}{{{x^2}}}\).

Câu hỏi số 405361:

Vận dụng cao

A. \(L = -\dfrac{7}{2}\).

B. \(L = \dfrac{7}{2}\).

C. \(L = + \infty \)

D. \(L = - \infty \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405361

Phương pháp giải

Sử dụng giới hạn đặc biệt \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\dfrac{{1 - \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} }}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{1 - \cos x.cos2x.cos3x}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ = \dfrac{{1 - \dfrac{1}{2}cos2x.\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ = \dfrac{{2 - cos2x.\cos 4x - {{\cos }^2}2x}}{{2{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ = \dfrac{{2 - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 2x} \right) - {{\cos }^2}2x}}{{2{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}2x + 1 - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 2x} \right)}}{{2{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}2x + 1 - \dfrac{1}{2}\cos 6x - \dfrac{1}{2} + {{\sin }^2}x}}{{2{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}2x + {{\sin }^2}x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos 6x}}{{2{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}2x + {{\sin }^2}x + \dfrac{1}{2}.2{{\sin }^2}3x}}{{2{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}2x + {{\sin }^2}x + {{\sin }^2}3x}}{{2{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} }}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}2x + {{\sin }^2}x + {{\sin }^2}3x}}{{2{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ \Rightarrow L = \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}2x}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}} + \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}3x}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} } \right)}}\\ \Rightarrow L = \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}2x}}{{{{\left( {2x} \right)}^2}}}.\dfrac{4}{{1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} }} + \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}.\dfrac{1}{{1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}3x}}{{{{\left( {3x} \right)}^2}}}.\dfrac{9}{{1 + \sqrt {\cos x.cos2x.cos3x} }}\\ \Rightarrow L = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{{1 + 1}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{1 + 1}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{{1 + 1}} = \dfrac{7}{2}\end{array}\)

Vậy \(L = \dfrac{7}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.