Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\)và \(f'\left( x \right) = {\left[

Câu hỏi số 405936:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\)và \(f'\left( x \right) = {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng

A. \(\dfrac{2}{3}\)

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{{16}}{3}\)

D. \(\dfrac{3}{{16}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405936

Phương pháp giải

- Từ giả thiết \(f'\left( x \right) = {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}\), chia cả 2 vế cho \({f^2}\left( x \right)\) và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế.

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\) tìm hằng số C.

- Tính giá trị \(f\left( 2 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^2}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx = \int {{x^2}dx} \Leftrightarrow } - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} \Rightarrow - \dfrac{1}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{3} + C \Leftrightarrow C = \dfrac{{ - 10}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{10}}{3} = \dfrac{{{x^3} - 10}}{3}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{3}{{10 - {x^3}}}\end{array}\)

Vậy \(f\left( 2 \right) = \dfrac{3}{{10 - {2^3}}} = \dfrac{3}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.