Cho \(m,n\) là hai số nguyên. Chứng minh rằng nếu \(7{\left( {m + n} \right)^2} + 2mn\) chia hết cho 225

Câu hỏi số 406184:

Vận dụng cao

Cho \(m,n\) là hai số nguyên. Chứng minh rằng nếu \(7{\left( {m + n} \right)^2} + 2mn\) chia hết cho 225 thì \(mn\)cũng chia hết cho 225.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406184

Giải chi tiết

Ta có: \(A = 7{\left( {m + n} \right)^2} + 2mn\)

\(\begin{array}{l} = 7\left( {{m^2} + 2mn + {n^2}} \right) + 2mn\\ = 7\left( {{m^2} + {n^2}} \right) + 16mn\\ = 7\left[ {{{\left( {m - n} \right)}^2} + 2mn} \right] + 16mn\\ = 7{\left( {m - n} \right)^2} + 30mn.\end{array}\)

Do \(A\,\, \vdots \,\,225 \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,15\)

Lại có: \(30mn\,\, \vdots \,\,15\)

\( \Rightarrow 7{\left( {m - n} \right)^2}\,\, \vdots \,\,225 \Rightarrow \left( {m - n} \right)\,\, \vdots \,\,15\)

Từ đây, ta có: \(7{\left( {m - n} \right)^2}\) chia hết cho \(225\)

\( \Rightarrow 30mn\,\, \vdots \,\,225,\) tức là \(mn \vdots 15\)

Mà \(mn = \left( {m - n} \right)n + {n^2}\) nên \({n^2}\,\, \vdots \,\,15 \Rightarrow n\,\, \vdots \,\,15\).

Từ đó, suy ra \(m\,\, \vdots \,\,15\) \(\left( {do\,\,\,\left( {m - n} \right)\,\, \vdots \,\,15} \right)\)

Vậy \(mn\,\, \vdots \,\,\,{15^2} = 225.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link