Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N là hai điểm nằm trên cạnh BC sao cho \(\angle MAN = {30^0}\) (M
Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N là hai điểm nằm trên cạnh BC sao cho \(\angle MAN = {30^0}\) (M nằm giữa B và N). Gọi K là giao điểm của hai đường tròn \(\left( {ABN} \right)\) và \(\left( {ACM} \right)\). Chứng minh rằng:
a) Hai điểm K và C đối xứng với nhau qua AN.
b) Đường thẳng AK đi qua tâm đường tròn \(\left( {AMN} \right)\).
Quảng cáo
a) Chứng minh \(AN\) là trung trực của \(KC.\)
b) Sử dụng tính chất của các góc nội tiếp.
a) Hai điểm K và C đối xứng với nhau qua AN.
Bên trong \(\angle MAN,\) lấy điểm \(K'\) sao cho \(AK' = AC\) và \(\angle K'AN = \angle NAC.\)
Xét \(\Delta K'AN\) và \(\Delta CAN\) có:
\(\begin{array}{l}\angle K'AC = \angle NAC\\K'A = CA\\AN\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta K'AN = \Delta CAN\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \angle AK'N = \angle ACN = {60^0} = \angle ABN\end{array}\)
Do đó, tứ giác \(ABK'N\) nội tiếp, suy ra \(K'\) thuộc đường tròn \(\left( {ABN} \right) \,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\angle MAN = {30^0}\)\( = \angle K'AN + \angle K'AM\)\( = \angle NAC + \angle K'AM\) và \(\angle NAC + \angle MAB = {30^0}\)
\( \Rightarrow \angle K'AM = \angle MAB.\)
Từ đó, bằng cách chứng minh tương tự như trên, ta cũng có \(K'\) thuộc đường tròn \(\left( {ACM} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2), ta suy ra \(K'\) là điểm chung thứ hai của hai đường tròn \(\left( {ABN} \right)\) và \(\left( {ACM} \right)\), tức là \(K' \equiv K\)
Vì \(\Delta K'AN = \Delta CAN\) \( \Rightarrow NC = NK' = NK.\)
\( \Rightarrow \) \(N\) thuộc trung trực của \(KC\) mà \(AC = AK = AK'\) nên \(A\) cũng thuộc trung trực của \(KC.\)
\( \Rightarrow \) \(AN\) là trung trực của \(KC.\)
\( \Rightarrow \)\(K\) và \(C\) đối xứng nhau qua \(AN\).
b) Đường thẳng AK đi qua tâm đường tròn \(\left( {AMN} \right)\).
Trên đoạn \(AK\) lấy điểm \(O\) sao cho \(\angle OMN = {60^0}.\)
Ta có: \(\angle AKN = \angle ABN = {60^0}\) \( \Rightarrow \angle AKN = \angle OMN = {60^0}\)
\( \Rightarrow OMNK\) là tứ giác nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle ONM = \angle OKM = \angle ACM = {60^0}\)
Mà \(\angle OMN = {60^0} \Rightarrow \Delta OMN\) là tam giác đều.
Ta có: \(\angle MOK = \angle MNK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MK\)của đường tròn \(\left( {OMNK} \right)\))
\(\angle MNK = \angle BAK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK\)của đường tròn \(\left( {ABN} \right)\))
Lại có: \(\angle BAK = 2\angle MAK\) (dựa theo câu a) \( \Rightarrow \angle MOK = 2\angle MAK\)
Mặt khác: \(\angle MOK = \angle MAK + \angle OMA\)
\( \Rightarrow \angle MAK = \angle OMA.\)
\( \Rightarrow \Delta OMA\) cân tại \(O \Rightarrow OA = ON = ON.\)
Vậy \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AMN\)
\( \Rightarrow AK\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AMN\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
