Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a,b,c \in Z} \right).\) Biết \(f\left( { - 1}

Câu hỏi số 406416:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a,b,c \in Z} \right).\) Biết \(f\left( { - 1} \right) \vdots \,3\,,\,f\left( 0 \right) \vdots 3,\,f\left( 1 \right) \vdots \,3.\)

Chứng minh rằng \(a,b,c\) đều chia hết cho \(3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406416

Phương pháp giải

Nhắc lại về quan hệ chia hết:

Số tự nhiên \(a\) chia hết cho số tự nhiên \(b \ne 0\) nếu có một số tự nhiên \(k\) sao cho \(a = b.k\)

Kí hiệu \(a\) chia hết cho \(b\) bởi \(a \vdots b\)

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

\(a \vdots \,m\,,\,\,\,b \vdots \,m\,,\,\,c\, \vdots \,m\, \Rightarrow \,\left( {a + b + c} \right) \vdots \,m\)

Nếu \(a > b\) và \(a\) và \(b\)cùng chia hết cho cùng một số thì hiệu \(a - b\) cũng chia hết cho đó.

\(a \vdots m,\,\,b \vdots \,m\,\,\, \Rightarrow \,\,\left( {a - b} \right) \vdots \,m\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(f\left( 0 \right)\, \vdots 3 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = c\,\, \vdots \,\,3\,\)

\(\begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = a{\left( { - 1} \right)^2} + b\left( { - 1} \right) + c\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a - b + c\,\,\, \vdots \,3\end{array}\)

\(f\left( 1 \right) = a + b + c\,\,\, \vdots \,\,3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) + f\left( 1 \right)\\ = \left( {a - b + c} \right) + \left( {a + b + c} \right)\\ = \,\,2\left( {a + c} \right)\,\, \vdots 3\\ \Rightarrow \left( {a + c} \right) \vdots 3\end{array}\)

Mà \(c \vdots \,3\) \( \Rightarrow a \vdots 3\).

Lại có: \(\left( {a + b + c} \right) \vdots 3\) (do \(f\left( 1 \right) \vdots 3\))

\( \Rightarrow b \vdots 3\).

Vậy \(a,b,c\) mỗi số đều chia hết cho 3.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link