Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 9cm,\,AC = 12cm,\,BC = 15cm.\) a) Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông và so sánh các

Câu hỏi số 406415:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 9cm,\,AC = 12cm,\,BC = 15cm.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông và so sánh các góc của \(\Delta ABC\).

b) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AB.\) Chứng minh \(\Delta DBC\) cân.

c) Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Đường thẳng \(DK\) cắt cạnh \(AC\) tại \(M\). Tính \(CM.\)

d) Từ trung điểm của \(N\) của đoạn thẳng \(AC\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\) cắt \(DC\) tại \(I\).

Chứng minh ba điểm \(B,M,I\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406415

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lý Py-ta-go để kiểm tra \(\Delta ABC\) vuông. Sử dụng mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác để so sánh các cạnh rồi suy ra mối quan hệ giữa các góc.

b) Chứng minh \(CB = CD\)\( \Rightarrow \Delta DBC\) cân tại \(C.\) Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Đường thẳng \(DK\) cắt cạnh \(AC\) tại \(M\).

\( \Rightarrow M\) là trọng tâm của \(\Delta DBC\). Từ đó tính được \(CM.\)

c) Chứng minh \(M\) là trọng tâm của \(\Delta DBC\).

Rồi dựa vào tính chất của trọng tâm để tính độ dài đoạn thẳng \(CM.\)

d) Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(CD\), rồi suy ra \(BI\) là đường trung tuyến của \(\Delta DBC\)

Do đó: \(B,M,I\) là ba điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225\\B{C^2} = {15^2} = 225\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(A.\)

b) Xét \(\Delta ABC\,\& \,\Delta ADC\) ta có:

\(\begin{array}{l}AB = AC\left( {gt} \right)\\\angle DAC = \angle BAC = {90^0}\\AC\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow CB = CD\) (hai cạnh tương ứng) .

Xét \(\Delta DBC\) có: \(CB = CD\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta DBC\) cân tại \(C.\)

c) Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Đường thẳng \(DK\) cắt cạnh \(AC\) tại \(M\).

\( \Rightarrow M\) là trọng tâm của \(\Delta DBC\).

Do đó: \(CM = \frac{2}{3}CA = \frac{2}{3}.12 = 8\left( {cm} \right)\) (tính chất đường trung tuyến).

d) Từ trung điểm của \(N\) của đoạn thẳng \(AC\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\) cắt \(DC\) tại \(I\).

Chứng minh ba điểm \(B,M,I\) thẳng hàng.

Vì \(\angle KMN = \angle DMA\) (đối đỉnh)

Mà \(\angle DMA + \angle MDA = {90^0}\)

\(\angle KMN + \angle MKN = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle MA = \angle MKN\)

Mà hai góc này so le trong

\( \Rightarrow NK//BD\)

Mặt khác: \(IN//BD\) vì cùng vuông góc với \(AC\).

\( \Rightarrow \Delta CIK\) cân tại \(C\).

\( \Rightarrow IC = CK\)

Mà \(K\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(CD\).

\( \Rightarrow BI\) là đường trung tuyến của \(\Delta DBC\).

\( \Rightarrow B,M,I\) là ba điểm thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link