Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) =

Câu hỏi số 406575:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\). Tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} .\)

A. \(I = - 1\)

B. \(I = \dfrac{1}{2}\)

C. \(I = - \dfrac{1}{2}\)

D. \(I = 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406575

Phương pháp giải

- Đổi biến, đặt \(t = \sin x\).

- Đưa toàn bộ tích phân về biến t, chú ý đổi cận.

- Sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x.\cos x.f'\left( {\sin x} \right)dx} \).

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2.\left[ {\left. {\left( {t.f\left( t \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) = 1.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.