Xét số phức z thỏa mãn \(\left| {iz - 2i - 2} \right| - \left| {z + 1 - 3i} \right| = \sqrt {34} \). Tìm giá

Câu hỏi số 406585:

Vận dụng cao

Xét số phức z thỏa mãn \(\left| {iz - 2i - 2} \right| - \left| {z + 1 - 3i} \right| = \sqrt {34} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {\left( {1 - i} \right)z + 1 + i} \right|.\)

A. \({P_{\min }} = \sqrt {34} \)

B. \({P_{\min }} = \sqrt {17} \)

C. \({P_{\min }} = \dfrac{{\sqrt {34} }}{2}\)

D. \({P_{\min }} = \dfrac{{13}}{{\sqrt {17} }}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406585

Phương pháp giải

Biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {iz - 2i - 2} \right| - \left| {z + 1 - 3i} \right| = \sqrt {34} \\ \Rightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 2i - 2} \right| - \left| {a + bi - 3i + 1} \right| = \sqrt {34} \\ \Rightarrow \left| {\left( { - b - 2} \right) + \left( {a - 2} \right)i} \right| - \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 3} \right)i} \right| = \sqrt {34} \\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} \end{array}\)

Biểu diễn \(M\left( {2; - 2} \right),N\left( { - 1;3} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

\(MN = \sqrt {{3^2} + {5^2}} = \sqrt {34} \)

Điểm biểu diễn của số phức z là \(A\left( {a;b} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM - AN = \sqrt {34} \\MN = \sqrt {34} \end{array} \right. \Rightarrow AM - AN = MN\)

Suy ra N nằm giữa A và M

\(\begin{array}{l}MN:5x + 3y - 4 = 0\\ \Rightarrow 5a + 3b - 4 = 0\\ \Rightarrow b = \dfrac{{4 - 5a}}{3}\left( {a < - 1} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}P = \left| {\left( {1 - i} \right)z + 1 + i} \right|\\ = \left| {\left( {a + b + 1} \right) + \left( {b - a + 1} \right)i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {a + b + 1} \right)}^2} + {{\left( {b - a + 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{7 - 2a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{7 - 8a}}{3}} \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{3}\sqrt {68{a^2} - 140a + 98} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 68{a^2} - 140a + 98\\f'\left( x \right) = 136a - 140 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{{35}}{{34}}\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Suy ra \({P_{\min }} = \dfrac{1}{3}.\sqrt {306} = \sqrt {34} \)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.