Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).

A. d(D, (SBM)) = $\frac{a}{\sqrt{2}}$ , thể tích hình chóp S.SBNM là: V = $\frac{25a^{3}}{24}$

B. d(D, (SBM)) = $\frac{a}{\sqrt{6 }}$ , thể tích hình chóp S.SBNM là: V = $\frac{25a^{3}}{24}$

C. d(D, (SBM)) = $\frac{a}{\sqrt{5}}$ , thể tích hình chóp S.SBNM là: V = $\frac{25a^{3}}{24}$

D. d(D, (SBM)) = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ , thể tích hình chóp S.SBNM là: V = $\frac{25a^{3}}{24}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40781

Giải chi tiết

Gọi H là giao điểm của BM và AN.

Do M, N là các trung điểm nên BM ⊥ AN

SA ⊥ (ABCD) và MB ⊥ AN => BM ⊥ SH

SA ⊥ AH => $\widehat{SHA}$ nhọn

Suy ra $\widehat{SHA}$ là góc giữa hai mặt phẳng: (ABCD) và (SBM) nên $\widehat{SHA}$ = 45⁰

=> AH = AS = a

Trong tam giác vuông ABM:

$\frac{1}{AB^{2}}$ + $\frac{1}{AM^{2}}$ = $\frac{1}{AH^{2}}$

⇔ $\frac{1}{AB^{2}}$ + $\frac{4}{AB^{2}}$ = $\frac{1}{AH^{2}}$ ⇔ $\frac{5}{AB^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}$

⇔ AB²= 5AH² ⇔ AB = AH√5 = a√5

5dt(ABNM) = dt(ABCD) - dt(BCN) - dt(MND) = 5a² - $\frac{5a^{2}}{4}-\frac{5a^{2}}{8}=\frac{25a^{2}}{8}$

Suy ra thể tích hình chóp S.SBNM là: V = $\frac{1}{3}.\frac{25a^{2}}{8}$ .a = $\frac{25a^{3}}{24}$

Gọi F là trung điểm BC. Ta có DF // BM nên DF // (SBM)

Gọi E là giao điểm của DF và AN

Suy ra d(D, (SBM)) = d(E, (SBM))

Gọi K là hình chiếu của E trên đường thẳng SH thì EK ⊥ (SBM)

Từ đó d(D, (SBM)) = d(E, (SBM)) = EK

M là trung điểm AD nên H là trung điểm AE => HE = HA = a

Để ý rằng $\widehat{KHE}$ = 45^o => EK = $\frac{a}{\sqrt{2}}$

Vậy d(D, (SBM)) = $\frac{a}{\sqrt{2}}$

Ghi chú:

+ d(D, (SBM)) = d(A, (SBM))

+ có thể giải bằng phương pháp tọa độ

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.