Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. CMR khoảng cách từ các điểm A’, B, D, C, B’, D’ tới

Câu hỏi số 407942:

Vận dụng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. CMR khoảng cách từ các điểm A’, B, D, C, B’, D’ tới đường chéo AC’ bằng nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407942

Phương pháp giải

- Trong (A’AC’) kẻ A’H vuông góc với AC’, tính A’H, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

- Chứng minh các tam giác \(\Delta A'AC'\), \(\Delta BAC'\), \(\Delta DAC'\), \(\Delta CC'A\), \(\Delta B'C'A\), \(\Delta D'C'A\) bằng nhau, từ đó suy ra các chiều cao tương ứng bằng nhau.

Giải chi tiết

Trong (A’AC’) kẻ \(A'H \bot AC'\,\,\left( {H \in AC'} \right)\) \( \Rightarrow {d_{\left[ {A';AC'} \right]}} = A'H\).

+ ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh \(a\) \( \Rightarrow A'C' = a\sqrt 2 \).

+ \(\Delta AA'C'\): \(A'H = \dfrac{{AA'.A'C'}}{{\sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

\( \Rightarrow {d_{\left[ {A';AC'} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

+ Xét \(\Delta A'AC'\), \(\Delta BAC'\), \(\Delta DAC'\), \(\Delta CC'A\), \(\Delta B'C'A\), \(\Delta D'C'A\) có:

\(\begin{array}{l}A'A = BA = DA = CC' = B'C' = D'C' = a\\AC'\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta A'AC' = \Delta BAC' = \Delta DAC' = \Delta CC'A = \Delta B'C'A = \Delta D'C'A\,\,\left( {ch - cgv} \right)\end{array}\)

Do đó các đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng A’, B, D, C, B’, D’ đến cạnh AC’ bằng nhau hay khoảng cách từ các điểm A’, B, D, C, B’, D’ tới đường chéo AC’ bằng nhau và cùng bằng \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.