Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\ln x\) thỏa mãn \(F\left( 1

Câu hỏi số 410203:

Thông hiểu

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\ln x\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4}\). Tìm \(F\left( x \right)\).

A. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + 1\).

B. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{1}{2}\).

C. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{1}{2}\).

D. \(F\left( x \right) = {x^2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410203

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần: \(\int\limits_{}^{} {udv} = uv - \int\limits_{}^{} {vdu} \).

- Thay \(F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4}\) tính hằng số C, từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số.

Giải chi tiết

\(F\left( x \right) = \int {x\ln x} dx\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}.\ln x - \int {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{dx}}{x}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int {xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\\F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} + C = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow C = 1\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + 1\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.