Cho các biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} -

Câu hỏi số 411135:

Vận dụng

Cho các biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{5}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9.\)

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

c) Tìm giá trị của \(x\) để \(\frac{B}{A} < \frac{3}{4}.\)

A. \(\begin{array}{l}a)\,\,A = 1\\c)\,\,0 < x < 16\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}a)\,\,A = \frac{3}{4}\\c)\,\,1 < x < 16\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}a)\,\,A = \frac{3}{4}\\c)\,\,0 < x < 16\,\,;\,\,x \ne 1\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}a)\,\,A = 1\\c)\,\,0 < x < 16\,\,;\,\,x \ne 1\end{array}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411135

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 9\) vào \(A\) và tính.

b) Quy đồng mẫu thức, thực hiện phép cộng trừ phân thức và rút gọn.

c) Giải bất phương trình \(\frac{B}{A} < \frac{3}{4}\). Chú ý đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

a) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 9\)

Thay \(x = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào \(A\) được \(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 + 1}} = \frac{3}{4}\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = \frac{3}{4}.\)

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{5}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + \sqrt x - 5\sqrt x + 5 + 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\, = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) với mọi \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

c) Tìm giá trị của \(x\) để \(\frac{B}{A} < \frac{3}{4}.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\frac{B}{A} < \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} < \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} < \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - \frac{3}{4} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x - 4 - 3\sqrt x }}{{4\sqrt x }} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 4}}{{4\sqrt x }} < 0\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Do \(x > 0 \Rightarrow 4\sqrt x > 0 \Rightarrow \left( * \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt x - 4 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 4\) \( \Leftrightarrow x < 16\)

Với \(x > 0,x \ne 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 16\\x \ne 1\end{array} \right.\)

Vậy để \(\frac{B}{A} < \frac{3}{4}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 16\\x \ne 1\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link