Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1}

Câu hỏi số 411298:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411298

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

Để đồ thị hàm số \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình \(m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m.1 - \left( {m - 1} \right).1 + m + 1 \ne 0\\\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m - m + 1 + m + 1 \ne 0\\{m^2} - 2m + 1 - 4{m^2} - 4m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 2\\ - 3{m^2} - 6m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 2\\\dfrac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3} < m < \dfrac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow m = - 1\).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.