Cho một góc vuông \(xOy\). Trên tia \(Ox\) có điểm \(A\) cố định, \(B\) là điểm chuyển động

Câu hỏi số 411607:

Vận dụng cao

Cho một góc vuông \(xOy\). Trên tia \(Ox\) có điểm \(A\) cố định, \(B\) là điểm chuyển động trên tia \(Oy\). Tìm tập hợp các điểm \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(C\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411607

Phương pháp giải

Các tam giác bằng nhau và các yếu tố cố định.

Giải chi tiết

Phần thuận:

Vẽ \(CH \bot Ox\,\,\left( {H \in Ox} \right)\), \(CK \bot Oy\,\,\left( {K \in Oy} \right)\).

Xét \(\Delta CAH\) có: \(\angle CHA = {90^0}\) và \(\Delta CBK\) có \(\angle CKB = {90^0}\) có:

\(CA = BC\) (do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\)).

\(\angle ACH = \angle BCK\) (hai góc cùng phụ với \(\angle ACK\)).

Do đó \(\Delta CAH = \Delta CBK\) (cạnh huyền -góc nhọn). Suy ra \(CH = CK\).

\(CH = CK\) và \(xOy\) cố định do đó \(C\) thuộc đường thẳng cố định là tia phân giác \(Oz\) của góc vuông \(xOy\).

Khi \(B \equiv O\) thì \(C \equiv {C_1}\), \({C_1}\) thuộc tia phân giác \(Oz\) và \(\Delta {C_1}OA\) vuông cân tại \({C_1}\).

Khi \(B\) chạy xa vô tận trên tia \(Oy\) thì \(C\) chạy xa vô tận trên tia \(Oz\).

Vậy C chuyển động trên tia \({C_1}z\).

Phần đảo:

Lấy \(C\) bất kì thuộc tia \({C_1}z\).

Vẽ đường thẳng vuông góc với \(CA\) tại \(C\) cắt tia \(Oy\) tại \(B\).

Vẽ \(CH \bot Ox\,\,\left( {H \in Ox} \right)\), \(CK \bot Oy\,\,\left( {K \in Oy} \right)\). Ta có \(CH = CK\), \(\angle KCH = {90^0}\).

Xét \(\Delta CAH\) và \(\Delta CBK\) có: \(\angle CHA = \angle BKC = {90^0}\), \(CH = CK\), \(\angle ACH = \angle BCK\) (cùng phụ với \(\angle ACK\))

Do đó \(\Delta CAH = \Delta CBK\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow CA = CB\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(CA = CB\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\).

Kết luận: Tập hợp các điểm \(C\) là trên tia \({C_1}z\) của tia phân giác \(Oz\) của góc \(xOy\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link