Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) cố định trong đường tròn. \(BC\) là dây cung

Câu hỏi số 411613:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) cố định trong đường tròn. \(BC\) là dây cung di động quay quanh \(A\). Các tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(D\). Tìm tập hợp các điểm \(D\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411613

Phương pháp giải

Các tam giác đồng dạng, tính chất vuông góc.

Giải chi tiết

Phần thuận:

Gọi \(M = OD \cap BC\).

Vẽ \(DH \bot OA\,\,\left( {H \in OA} \right)\), \(DB = DC,\,\,OB = OC\,\,\left( { = R} \right)\).

Suy ra \(DO\) là trung trực của \(BC\) suy ra \(DO \bot BC\).

Xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OHD\) có: \(\angle O\) chung; \(\angle OMA = \angle OHD = {90^0}\).

Vậy \(D\) thuộc đường thẳng cố định \(\left( d \right)\) vuông góc với đường thẳng \(OA\) tại \(H\).

Giới hạn:

\(BC\) quay quanh \(A\) nên \(D\) chuyển động trên đường thẳng \(\left( d \right)\).

Phần đảo:

Lấy \(D\) bất kì trên đường thẳng \(\left( d \right)\). Vẽ dây \(BC\) qua \(A\) vuông góc với \(OD\) tại \(M\).

Xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OHD\) có: \(\dfrac{{OA}}{{OD}} = \dfrac{{OM}}{{OH}}\), suy ra \(OA.OH = OM.OD\).

Mà \(OA.OH = {R^2} \Rightarrow OM.OD = {R^2} \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\).

Xét \(\Delta OMB\) và \(\Delta OBD\) có: \(\angle MOB\) chung; \(\dfrac{{OM}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\).

Do đó \(\Delta OMB \sim \Delta OBD\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle OMB = \angle OBD = {90^0}\).

Suy ra \(BD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Tương tự \(DC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Kết luận: Tập hơp các điểm \(D\) là đường thẳng \(d \bot OA\) tại \(H\) (với \(OH = \dfrac{{{R^2}}}{{OA}}\)).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link