Cho tam giác cân \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có \(AB = AC = R\sqrt 2 \). \(M\) là

Câu hỏi số 411612:

Vận dụng cao

Cho tam giác cân \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có \(AB = AC = R\sqrt 2 \). \(M\) là điểm chuyển động trên cung nhỏ \(AC\), đường thẳng \(AM\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(D\). Tìm tập hợp các điểm \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCD\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411612

Phương pháp giải

Dựa vào các tam giác đặc biệt .

Giải chi tiết

Phần thuận:

\(AB = AC = R\sqrt 2 \,\,\left( {gt} \right)\), \(AB,\,\,AC\) là dây cung của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(AB,\,\,AC\) là các cạnh của hình vuông nội tiếp \(\left( {O;R} \right)\) suy ra tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(BC\) là đường kính của \(\left( {O;R} \right)\), \(\angle CID = 2\angle CMD = {90^0}\).

Ta có \(\angle CMD = {45^0}\) suy ra \(\angle CMD\) nhọn.

\(\Delta ICD\) có \(IC = ID\,\,\left( { = R} \right)\) suy ra \(\Delta ICD\) vuông cân tại \(I\), \( \Rightarrow \angle ICD = \angle IDC = {45^0}\).

Ngoài ra \(\angle ACB = {45^0}\) do đó \(\angle ACI = {90^0}\) và \(AC\) cố định, \(Cx \bot AC\) tại \(C\).

Giới hạn:

Khi \(M \equiv C\) thì \(I \equiv C\).

Khi \(M \equiv A\) thì \(I\) chạy vô tận trên tia \(Cx\).

Vậy \(I\) chuyển đông trên tia \(Cx \bot AC\) tại \(C\).

Phần đảo:

Lấy \(I\) bất kì thuộc \(Cx\). Vẽ đường tròn \(\left( {I;IC} \right)\), đường tròn này cắt \(BC\) tại \(B\), cắt \(\left( O \right)\) tại \(M\).

Tứ giác \(BAMC\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle ABC + \angle AMC = {180^0} \Rightarrow \angle AMC = {135^0}\).

\(\Delta ICD\) có \(IC = ID\,\,\left( { = r} \right) \Rightarrow \angle IDC = {45^0} \Rightarrow \angle CDI = {90^0}\) nên \(A,\,\,M,\,\,D\) thẳng hàng.

Kết luận: Tập hợp các điểm \(I\) của tâm đường tròn ngoại tiếp \(MCD\) là tia \(Cx \bot AC\) tại \(C\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link