Cho đường tròn \(O\) và dây cung \(BC\) cố định. Gọi \(A\) là điểm di động trên cung lớn \(BC\)

Câu hỏi số 411614:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(O\) và dây cung \(BC\) cố định. Gọi \(A\) là điểm di động trên cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A\) khác \(B,\,\,C\)). Tia phân giác của \(\angle ACB\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\) khác \(C\). Lấy điểm \(I\) thuộc đoạn thẳng \(CD\) sao cho \(DI = DB\). Đường thẳng \(BI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(K\) khác điểm \(B\).

a) Chứng minh rằng tam giác \(KAC\) cân?

b) Chứng minh đường thẳng \(AI\) luôn đi qua điểm \(J\) cố định?

c) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = AC\). Tìm quỹ tích các điểm \(M\) khi \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411614

Phương pháp giải

Góc nội tiếp đường tròn .

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle DKB = \dfrac{1}{2}\left( {sdAD + sdAK} \right)\), \(\angle DIB = \dfrac{1}{2}\left( {sdBD + sdDK} \right)\).

Vì \(sdBD = sdBA\) và \(\Delta DBI\) cân tại \(D\) nên \(sdKC = sdKA\).

Suy ra \(AK = CK \Rightarrow \Delta KAC\) cân tại \(K\).

b) Từ kết quả câu a) ta thấy \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên đường thẳng \(AI\) luôn đi qua điểm \(J\) (điểm chính giữa của cung \(BC\) không chứa \(A\)). Rõ ràng \(J\) là điểm cố định.

c) Phần thuận:

\(\Delta AMC\) cân tại \(A\) nên \(\angle BMC = \dfrac{1}{2}\angle BAC\). Giả sử số đo \(\angle BAC = 2\alpha \) (không đổi) thì khi \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) thì \(M\) thuộc cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên đoạn \(BC\) về phía \(O\).

Phần đảo:

Tiếp tuyến \(Bx\) với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt cung chứa góc \(\alpha \)vẽ trên đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(X\). Lấy điểm \(M\) bất kì trên cung \(CX\) ( một phần của cung chứa \(\alpha \) và vẽ trên đoạn \(BC\)).

Nếu \(MB\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) thì rõ ràng \(A\) thuộc cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\).

Vì \(\angle BAC = 2\alpha ,\,\,\angle AMC = \alpha \) suy ra \(\Delta AMC\) cân tại \(A\) hay \(AC = AM\).

Kết luận: Quỹ tích của các điểm \(M\) là cung \(Cx\), một phần của cung chứa góc \(\alpha \) vẽ trên đoạn \(BC\) về phía \(O\) trừ hai điểm \(C\) và \(X\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link