Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(2a\sqrt 3 .\) Biết \(\widehat {BAD} =

Câu hỏi số 411946:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(2a\sqrt 3 .\) Biết \(\widehat {BAD} = 120^\circ \) và hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ .\) Khoảng cách \(h\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là

A. \(h = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\)

B. \(h = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\)

C. \(h = 2a\sqrt 2 .\)

D. \(h = a\sqrt 3 .\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411946

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( R \right)\\\left( Q \right) \bot \left( R \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( R \right)\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

- Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh \(2a\sqrt 3 \).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AM \bot BC\) và \(AM = 2a\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3a\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Vì \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\), khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SAM = {45^0}\).

Xét tam giác vuông \(AHM\) có \(AH = AM.\sin {45^0} = 3a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.