Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(2a\sqrt 3 .\) Biết \(\widehat {BAD} = 120^\circ \) và hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ .\) Khoảng cách \(h\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là

Câu 411946: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(2a\sqrt 3 .\) Biết \(\widehat {BAD} = 120^\circ \) và hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ .\) Khoảng cách \(h\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là

A. \(h = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\)

B. \(h = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\)

C. \(h = 2a\sqrt 2 .\)

D. \(h = a\sqrt 3 .\)

Câu hỏi : 411946

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( R \right)\\\left( Q \right) \bot \left( R \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( R \right)\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

- Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh \(2a\sqrt 3 \).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AM \bot BC\) và \(AM = 2a\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3a\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Vì \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\), khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SAM = {45^0}\).

Xét tam giác vuông \(AHM\) có \(AH = AM.\sin {45^0} = 3a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.