Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng \(\left( {{A'}BC} \right)\) tạo với đáy góc \({30^0}\) và tam giác \({A_1}BC\) có diện tích bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Câu 412233: Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng \(\left( {{A'}BC} \right)\) tạo với đáy góc \({30^0}\) và tam giác \({A_1}BC\) có diện tích bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. \(V = 64\sqrt 3 .\)

B. \(V = 2\sqrt 3 .\)

C. \(V = 16\sqrt 3 .\)

D. \(V = 8\sqrt 3 .\)

Câu hỏi : 412233

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = Bh\).

Đáp án : D
(17) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Do tam giác \(ABC\) đều nên \(AM \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,AM \bot BC\\A'M \subset \left( {A'BC} \right),A'M \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle AMA' = {30^0}\).

Giả sử tam giác \(ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,BC = a\).

Tam giác \(AMA'\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow A'M = \dfrac{{AM}}{{\cos \angle AMA'}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\cos {{30}^0}}} = a\).

Ta có: \({S_{\Delta A'BC}} = \dfrac{1}{2}A'M.BC = 8 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.a.a = 8 \Leftrightarrow {a^2} = 16 \Leftrightarrow a = 4\).

Khi đó ta có: \(AA' = AM.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{a}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(4\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Vậy thể tíchcủa khối lăng trụ đã cho là: \(V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2.4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.