Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right).\) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có

Câu hỏi số 412232:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right).\) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2020\pi } \right)?\)

A. \(2020.\)

B. \(1009.\)

C. \(1010.\)

D. \(2019.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412232

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Sử dụng công thức tính đạo hàm: \({\left( {{{\log }_a}u} \right)^\prime } = \dfrac{{u'}}{{u.\ln a}}\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \) hoặc \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \).

- Đối chiếu điều kiện xác định để suy ra nghiệm của phương trình.

- Cho nghiệm tìm được thuộc \(\left( {0;2020\pi } \right)\), tìm số nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\cos x > 0\)

Ta có: \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).

Với \(k\) chẵn, đặt \(k = 2m\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó ta có \(x = m2\pi \,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(k\) lẻ, đặt \(k = 2n + 1\,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó ta có \(x = \left( {2n + 1} \right)\pi = \pi + n2\pi \,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\).

Kiểm tra ĐKXĐ:

\(x = m2\pi \Rightarrow \cos x = 1 > 0\): thỏa mãn.

\(x = \pi + k2\pi \Rightarrow \cos x = - 1 < 0\): loại.

Suy ra nghiệm của phương trình là \(x = m2\pi ,\,\,m \in \mathbb{Z}\).

Theo bài ra ta có: \(x \in \left( {0;2020\pi } \right) \Rightarrow 0 < m2\pi < 2020\pi \Leftrightarrow 0 < m < 1010 \Rightarrow \) Có 1009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Vậy phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 1009 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2020\pi } \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.