Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 412617:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + {y^2}.\)

A. \(\min A = 1\,\,;\,\,\max A = 9\)

B. \(\min A = 0\,\,;\,\,\max A = 12\)

C. \(\min A = 1\,\,;\,\,\max A = 10\)

D. \(\min A = 0\,\,;\,\,\max A = 8\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412617

Phương pháp giải

- Từ đẳng thức bài cho rút ra \({x^2} - 4x + 3 = - {y^2}\), đánh giá điều kiện của \(x\).

- Biểu diễn A theo biến \(x\) và chú ý từ điều kiện tìm được ở trên suy ra A.

Giải chi tiết

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = - {y^2}\)

Do \({y^2} \ge 0,\forall y \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow - {y^2} \le 0,\forall y \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 \le 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \le 0\,\,\left( * \right)\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow 1 \le x \le 3\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 3\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow 1 \le x \le 3\).

Lại có, \({x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {y^2} = - {x^2} + 4x - 3\)

Do đó

\(\begin{array}{l}A = {x^2} + {y^2}\\ = {x^2} + \left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)\\ = {x^2} - {x^2} + 4x - 3\\ = 4x - 3\\ \Rightarrow A = 4x - 3\end{array}\)

Từ \(1 \le x \le 3\) suy ra:

\(\begin{array}{l}4 \le 4x \le 12\\ \Rightarrow 4 - 3 \le 4x - 3 \le 12 - 3\\ \Rightarrow 1 \le A \le 9\end{array}\)

Vậy GTNN của A là \(A = 1\) khi \(x = 1,y = 0\).

GTLN của A là \(A = 9\) khi \(x = 3,y = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link