Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\). Các đường cao \(BD\) và \(CE\)

Câu hỏi số 412616:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\). Các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H.\)

1) Chứng minh \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp

2) Kẻ đường kính \(AK.\) Chứng minh \(CK//BH\) và tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành

3) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC,G\) là giao điểm của \(AI\) và \(OH.\)

a. Chứng minh \(G\) là trọng tâm \(\Delta AHK\)

b. Cho \(B,C\) cố định, khi \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) sao cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn thì \(G\) chuyển động trên đường nào? Tại sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412616

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác ADHE có hai góc đối có tổng số đo bằng \({180^0}\) .

2) Chứng minh \(CK \bot AC,BH \bot AC\), từ đó suy ra \(CK//BH\).

Chứng minh tứ giác BHCK có hai cặp cạnh đối song song.

3) a) Chứng minh G là giao điểm hai đường trung tuyến trong tam giác AHK.

b) Kẻ GM//OA \(\left( {M \in OI} \right)\), chứng minh \(MG = \frac{1}{3}OA\) không đổi.

Giải chi tiết

1) Chứng minh \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(BD \bot AC\) nên \(\widehat {ADB} = {90^0}\)

\(CE \bot AB\) nên \(\widehat {AEC} = {90^0}\)

Tứ giác ADHE có: \(\widehat {AEH} + \widehat {ADH}\) \( = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Do đó ADHE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc đối có tổng bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp) (đpcm).

2) Kẻ đường kính \(AK.\) Chứng minh \(CK//BH\) và tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành

Ta có: \(BD \bot AC \Rightarrow BH \bot AC\) (1)

AK là đường kính nên \(\widehat {KCA} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow CK \bot AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH//CK\) (cùng vuông góc với \(AC\)) (đpcm).

Lại có,

AK là đường kính nên \(\widehat {ABK} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow BK \bot AB\)

Mà \(CE \bot AB \Rightarrow CH \bot AB\)

Do đó \(BK//CH\) (cùng vuông góc với \(AB\))

Tứ giác BHCK có \(BH//KC,BK//CH\) nên là hình bình hành (tứ giác có hai cặp đối song song là hình bình hành). (đpcm)

3) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC,G\) là giao điểm của \(AI\) và \(OH.\)

a. Chứng minh \(G\) là trọng tâm \(\Delta AHK\)

Tứ giác BHCK là hình bình hành (cmt) nên I là trung điểm BC cũng là trung điểm của HK (tính chất)

AK là đường kính nên O là trung điểm của AK.

Xét tam giác AHK có G là giao điểm hai đường trung tuyến AI và HO nên G là trọng tâm tam giác. (đpcm)

b. Cho \(B,C\) cố định, khi \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) sao cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn thì \(G\) chuyển động trên đường nào? Tại sao?

Qua G kẻ đường thẳng song song với OA cắt OI tại M.

\(GM//AO\) nên theo định lí Ta let ta có: \(\frac{{MG}}{{OA}} = \frac{{IG}}{{IA}} = \frac{{IM}}{{IO}}\)

Mà G là trọng tâm tam giác AHK nên \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{IG}}{{IA}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{MG}}{{OA}} = \frac{{IG}}{{IA}} = \frac{{IM}}{{IO}} = \frac{1}{3}\)

Do B, C, O cố định nên I cố định và \(\frac{{IM}}{{IO}} = \frac{1}{3}\) nên M cố định.

Lại có \(\frac{{MG}}{{OA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MG = \frac{1}{3}OA\). Mà \(OA = R\) không đổi.

Do đó G luôn cách M một khoảng \(MG = \frac{1}{3}OA = \frac{1}{3}R\) không đổi.

Vậy G luôn di chuyển trên đường tròn tâm M bán kính \(R' = \frac{R}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link