Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa điều kiện \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 412628:

Vận dụng cao

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa điều kiện \(x + y + z = 3.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{{y^2} + 1}} + \frac{y}{{{z^2} + 1}} + \frac{z}{{{x^2} + 1}}\)

A. \(1\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{5}{2}\)

D. \(\frac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412628

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(a,b\): \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số \({y^2},1\) ta có \({y^2} + 1 \ge 2\sqrt {{y^2} + 1} \) \( \Leftrightarrow {y^2} + 1 \ge 2y\)

Ta có: \(\frac{x}{{{y^2} + 1}} = \frac{{x\left( {{y^2} + 1} \right) - x{y^2}}}{{{y^2} + 1}}\) \( = x - \frac{{x{y^2}}}{{{y^2} + 1}} \ge x - \frac{{x{y^2}}}{{2y}} = x - \frac{{xy}}{2}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{y}{{{z^2} + 1}} = \frac{{y\left( {{z^2} + 1} \right) - y{z^2}}}{{{z^2} + 1}}\) \( = y - \frac{{y{z^2}}}{{{z^2} + 1}} \ge y - \frac{{y{z^2}}}{{2z}} = y - \frac{{yz}}{2}\)

\(\frac{z}{{{x^2} + 1}} = \frac{{z\left( {{x^2} + 1} \right) - z{x^2}}}{{{x^2} + 1}}\) \( = z - \frac{{z{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge z - \frac{{z{x^2}}}{{2x}} = z - \frac{{zx}}{2}\)

Cộng theo từng vế ta được:

\(\frac{x}{{{y^2} + 1}} + \frac{y}{{{z^2} + 1}} + \frac{z}{{{x^2} + 1}}\) \( \ge x + y + z - \frac{{xy + yz + xz}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, theo BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \ge 2xy\\{y^2} + {z^2} \ge 2yz\\{x^2} + {z^2} \ge 2xz\end{array} \right.\)

Suy ra \(2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\left( {xy + yz + xz} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + xz} \right) \ge 3\left( {xy + yz + xz} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + xz} \right)\)

\( \Leftrightarrow {3^2} \ge 3\left( {xy + yz + xz} \right)\) \( \Leftrightarrow xy + yz + xz \le 3\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{x}{{{y^2} + 1}} + \frac{y}{{{z^2} + 1}} + \frac{z}{{{x^2} + 1}} \ge 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\)

Hay \(P \ge \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{3}{2}\) khi \(x = y = z = 1.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link