Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm của đoạn OB. Dây CD vuông

Câu hỏi số 412627:

Vận dụng

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm của đoạn OB. Dây CD vuông góc với AB tại M. Điểm E chuyển động trên cung nhỏ AC (E khác A và C). Nối EB cắt CD tại H, kéo dài AE cắt tia DC tại K.

a) Chứng minh tứ giác BMEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABK và \(AE.AK = 3{R^2}\)

c) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK luôn thuộc một đường thẳng cố định khi điểm E chuyển động trên cung nhỏ AC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412627

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc góc rồi suy ra hệ thức về cạnh tương ứng

c) Lấy \(N\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M.\) Sau đó chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABH\) đi qua \(N.\) Từ đó suy ra tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp \(I.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác BMEK là tứ giác nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AEB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(BE \bot AK \Rightarrow \widehat {BEK} = {90^0}\)

Lại có \(KD \bot AB \Rightarrow \widehat {KMB} = {90^0}\)

Xét tứ giác \(BMEK\) có \(\widehat {BEK} = \widehat {BMK}\left( { = {{90}^0}} \right)\) nên hai đỉnh \(E,M\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(KB\) dưới một góc vuông, do đó \(BMEK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABK và \(AE.AK = 3{R^2}\)

Xét tứ giác nội tiếp \(BMEK\) có \(\widehat {EKB} = \widehat {EMA}\) (cùng bù với \(\widehat {EMB}\))

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta ABK\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {EKB} = \widehat {EMA}\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AEM \sim \Delta ABK\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AK}}\) \( \Leftrightarrow AE.AK = AB.AM\)

Mà \(AB = 2R,\) \(AM = OA + OM\) \( = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R\)

\( \Rightarrow AE.AK = 2R.\frac{{3R}}{2} = 3{R^2}\)

Vậy \(AE.AK = 3{R^2}\)

c) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK luôn thuộc một đường thẳng cố định khi điểm E chuyển động trên cung nhỏ AC.

Lấy \(N\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M.\)

Suy ra \(KM \bot AN,AM = MN\) nên \(KM\) là đường trung trực của tam giác \(KAN\)

Nên \(KA = KN \Rightarrow \Delta KAN\) cân tại \(K.\)

Suy ra \(\widehat A = \widehat {KNM}\) (1)

Xét tứ giác \(AEHM\) có \(\widehat {AEH} + \widehat {HMA}\) \( = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên \(AEHM\) là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\widehat A = \widehat {MHB}\) (2) (cùng bù với \(\widehat {EHM}\))

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {KNB} = \widehat {MHB}\)

Xét tứ giác \(BHKN\) có \(\widehat {KNB} = \widehat {MHB}\) nghĩa là góc ngoài tại đỉnh \(H\) bằng góc trong tại đỉnh đối là \(N\), do đó \(BNKN\) là tứ giác nội tiếp.

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BHK\) đi qua điểm \(N\) cố định (vì \(A,M\) cố định)

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BHK\) thuộc đường trung trực của đoạn \(BN\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link