Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} -

Câu hỏi số 412932:

Vận dụng

Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0\) có ba nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của T bằng

A. \(1\)

B. \(5\)

C. \(0\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412932

Phương pháp giải

- Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử.

- Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {m^3}} \right) - 3\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\\ - 3\left( {x - m} \right)\left( {x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3x - 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m\).

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \(m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\f\left( m \right) \ne 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) > 0\\{m^2} + \left( {m - 3} \right).m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 3} \right) > 0\\{m^2} + {m^2} - 3m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( {m - 3 - 4m} \right) > 0\\3{m^2} - 6m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( { - 3m - 3} \right) > 0\\3m\left( {m - 2} \right) \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 3\\m \ne 0,m \ne 2\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\) hay \(T = \left\{ 1 \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của T là 1.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.