Trong không gian, cho hình thang cân \(ABCD,\,\,AB//CD,\) \(AB = 3a,\,\,CD = 6a,\) đường cao \(MN = 2a,\) với

Câu hỏi số 414426:

Vận dụng

Trong không gian, cho hình thang cân \(ABCD,\,\,AB//CD,\) \(AB = 3a,\,\,CD = 6a,\) đường cao \(MN = 2a,\) với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm cảu \(AB\) và \(CD.\) Khi quay hình thang cân quang trục đối xứng \(MN\) thì được một hình nón cụt có diện tích xung quanh là:

A. \(3,75\pi {a^2}\)

B. \(11,25\pi {a^2}\)

C. \(7,5\pi {a^2}\)

D. \(15\pi {a^2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:414426

Phương pháp giải

Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh \(l\) và bán kính đáy \(r\) là: \({S_{xq}} = \pi rl.\)

Kéo dài AD và BC cắt nhau tại S.

Quay tam giác SCD quanh trục SN được hình nón (N) đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính CD.

Gọi hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính AB là (M).

Khi đó: Diện tích xung quanh hình nón cụt được tạo thành = Diện tích xung quanh hình nón (N) – Diện tích xung quanh hình nón (M).

Giải chi tiết

Kéo dài AD và BC cắt nhau tại S.

Quay tam giác SCD quanh trục SN được hình nón (N) đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính CD.

Gọi hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính AB là (M).

Theo định lý Talet ta có: \(\dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{SM}}{{SN}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{3a}}{{6a}} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SN}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{SM}}{{SM + 2a}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow 2SM = SM + 2a\)\( \Leftrightarrow SM = 2a\)

\( \Rightarrow SN = SM + MN = 4a.\)

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác \(SAM,\,\,SDN\) vuông tại \(M,\,\,N\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = S{M^2} + A{M^2}\\S{D^2} = S{N^2} + D{N^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = 4{a^2} + {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{25{a^2}}}{4}\\S{D^2} = {\left( {4a} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{6a}}{2}} \right)^2} = 25{a^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = \dfrac{{5a}}{2}\\SD = 5a\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \) Diện tích xung quanh hình chóp cụt cần tính là:

\(\begin{array}{l}{S_{xq\,\,\left( N \right)}} - {S_{xq\,\,\left( M \right)}} = \pi .DN.SD - \pi .SA.AM\\ = \pi .5a.3a - \pi .\dfrac{{5a}}{2}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{45\pi {a^2}}}{4} = 11,25\pi {a^2}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.