Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\)có \(AB = a,\) đường thẳng \(A'B\) tạo với mặt
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\)có \(AB = a,\) đường thẳng \(A'B\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) một góc \({30^0}.\) Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Xác định góc giữa \(A'B\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) là góc giữa \(A'B\) và hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\).
- Sử dụng công thức tính nhanh: Chiều cao của tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và định lí Pytago để tính chiều cao của khối lăng trụ.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = B.h\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\). Vì \(\Delta A'B'C'\) đều nên \(A'M \bot B'C'\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'M \bot B'C'\\A'M \bot BB'\,\,\left( {BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'M \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
\( \Rightarrow BM\) là hình chiếu của \(A'M\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;MB} \right) = \angle A'BM = {30^0}\).
Theo bài ra ta có \(\Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(A'M = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \({S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có: \(A'M \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow A'M \bot BM\) \( \Rightarrow \Delta A'BM\) vuông tại \(M\) \( \Rightarrow BM = A'M.\cot {30^0} = \dfrac{{3a}}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BB'M\) ta có: \(BB' = \sqrt {B{M^2} - BB{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{A'B'C'}} = a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
