Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số \(\overline {abc} \) sao cho \(\overline {abc} = n \times n -

Câu hỏi số 417385:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số \(\overline {abc} \) sao cho \(\overline {abc} = n \times n - 1\) và \(\overline {cba} = n \times n - 4 \times n + 4.\)

A. \(565\)

B. \(625\)

C. \(545\)

D. \(675\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:417385

Phương pháp giải

Áp dụng:

+ \(\overline {abc} = a \times 100 + b \times 10 + c\)

+ Dấu hiệu chia hết: Nếu \(a\,\, \vdots \,\,c\) thì \(m \times a\,\, \vdots \,\,c\) với \(m\) là số tự nhiên khác \(0\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\overline {abc} = a \times 100 + b \times 10 + c = n \times n - 1\) hay \(100 \times a + 10 \times b + c = n \times n - 1\) \(\left( 1 \right)\)

\(\overline {cba} = c \times 100 + b \times 10 + a = n \times n - 4 \times n + 4\) hay \(100 \times c + 10 \times b + a = n \times n - 4 \times n + 4\) \(\left( 2 \right)\)

Lấy \(\left( 1 \right)\) trừ \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\left( {100 \times a + 10 \times b + c} \right) - \left( {100 \times c + 10 \times b + a} \right) = \left( {n \times n - 1} \right) - \left( {n \times n - 4 \times n + 4} \right)\)

\( \Rightarrow 100 \times a + 10 \times b + c - 100 \times c - 10 \times b - a = n \times n - 1 - n \times n + 4 \times n - 4\)

\( \Rightarrow 99 \times a - 99 \times c = 4 \times n - 5\)

\( \Rightarrow 99 \times \left( {a - c} \right) = 4 \times n - 5\)

\( \Rightarrow 4 \times n - 5\,\, \vdots \,\,99\)

Mặt khác, \(\overline {abc} = n \times n - 1\) nên \(100 < n \times n - 1 < 999 \Rightarrow 101 < n \times n < 1000 \Rightarrow 11 < n < 31\)

\( \Rightarrow 44 < 4 \times n < 124 \Rightarrow 39 < 4 \times n - 5 < 119\)

Mà \(4 \times n - 5\,\, \vdots \,\,99\) \( \Rightarrow 4 \times n - 5\, = 99 \Rightarrow n = 26\)

\( \Rightarrow \overline {abc} = n \times n - 1 = 26 \times 26 - 1 = 675\)

Vậy \(\overline {abc} = 675\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link